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洗澡的时候把握不住水温?

时间: 2021年06月10日 | 作者: Chris Budd | 来源: 中科院物理所
很多朋友都有过这样的经历:水龙头出来的水要么太凉要么太热,怎么也调不到满意的温度。要解决这个问题,就要涉及到我们今天要说的延迟方程了。



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图片来源:pixabay


天气越来越热了,这个时候能舒舒服服冲个澡自然是再开心不过了。但是很多朋友都有过这样的经历:水龙头出来的水要么太凉要么太热,怎么也调不到满意的温度。要解决这个问题,就要涉及到我们今天要说的延迟方程了。


作者丨Chris Budd 

翻译丨C&C 

审校丨Dannis


相信大家都有过这样的经历:在淋浴时感觉水太冷了,所以你打开了热水龙头。但是水温不会马上变化——因为热水需要时间来流经管道——因此你最终会把温度调得更高。之后热水流过了管道,从花洒流到你身上。但是这时温度又太高了。于是你马上把热水龙头关上,但等到效果显现的时候,水又太冷了。所以你又得把温度调高。如此循环往复——似乎不可能调到正确的温度。


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图片来源:pixabay


有一个方程可以描述这种情况。从气候变化到COVID-19,这个等式的应用已经远远超出了浴室的范围。这是因为世界上的很多过程会涉及经过延迟才会产生的效应。但在讲述它的应用之前,让我们看一下这个方程。


我们写下在t时刻感受到的水的温度T(t)。假设水要花d秒的时间才能流过管道。那么淋浴方程便是


image.png(1)


我们回顾下这个表达式。左边表示t时刻水的温度变化率,正值代表着t时刻水温增加,负值代表着t时刻水温降低。正值越大(或负值越小),在t时刻的温度升高(或降低)的速度越快。


方程的右边告诉我们:t时刻的变化率正比于t时刻之前d秒时的温度,也就是说,它正比于T(t-d)。这是有道理的:温度在t时刻的变化率取决于你在(t-d)时刻提高(或降低)多少热量,而这显然取决于你当时感觉水有多热或多冷。数字k是比例常数(我们假设它大于0)。


最后,这个负号反映了这样一个事实:(t-d)时刻的高温意味着你会调低温度,从而导致t时刻的温度降低;而(t-d)时刻的低温意味着你会调高温度,从而导致t时刻的温度升高。


好吧,这有一点不准确的地方:严格来说,这个方程告诉我们:如果温度低于0,你就会提高温度,如果温度高于0,你就会降低温度。这显然不太准确,因为仅仅高于0是远远不够温暖的。然而,我们可以很容易调整这个方程使得它反映这样一个事实:你可以用某个理想值(除0℃外)为参考点来调高或调低温度。


求解这个方程意味着找到满足它的函数T(t)。这个函数T(t)会给出任意t时刻的温度。充分了解这个函数后,你就会知道,开关热水龙头究竟是会保持一个舒适的温度,还是会让你一直开下去而得不到一个满意的结果。


由于我们的方程涉及到变化率,也被称为导数,所以这个方程被称为微分方程。这样的方程很少有容易求解的,但我们至少可以探索它的解是什么形式。这需要一点微积分知识。如果你还没有准备好,你可能想要跳到这篇文章的最后一部分,在那里我们将认识到淋浴方程的重要应用。



不含延迟


让我们先看看如果水穿过管道完全不需要时间会发生什么——这样就没有延迟:d=0。方程(1)变成


image.png


如果你知道一点微分你就会知道下面这个函数


image.png


是这种情况的一个解。下面是这个函数的不同值的图。在任意一种情况下,我们看到温度的行为都是稳定的:它收敛到0值(前面提到,我们假设这是我们追求的理想温度)。


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kd=0.19时的图像



含有延迟


当有延迟时,d就不等于0,这时候数学就变得困难了——你可以直接跳到文章的结尾,看看这个方程的应用。


假设解的形式是这样的


image.png (2)


a是一个参数。我们的任务是找出参数a应该是怎样的。方程(2)对t求导得到


image.png


代入原方程(1)得到


image.png


当参数a满足下面的超越方程时,此方程恰好成立。


image.png(3)


我们可以把它写成更整洁的形式:


image.png


那么方程(3)变成


image.png


这样


image.png


超越方程很难解,但我们能做的就是画出这两个函数,看看它们交点的情况。这些交点的横坐标x满足式(3)。如下所示(你可以点击图片进去使用滑块来改变(dk)的值):


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kd=0.1时的图像


从图中可以看出,方程(3)只有当时小于0.37左右的某个值时才有解。事实上,它只有当


image.png


才成立。这里e是自然对数的底。


这种情况下的解x是正数。因为x=-ad和d也是正的(记住它表示延迟),这意味着a=-x/d是一个负数。


这样原始的淋浴方程(1)的解具有类似与无延迟的情况下方程解的形式:随着时间的推移,它将趋于0。换句话说,如果我们的延迟参数d和比例常数k的乘积小于或等于1/e,我们开关热水龙头最终会得到一个理想的温度。


如果kd>1/e将会发生什么呢?这时我们需要进入复数领域:这种情况下,方程(3)没有实数解,但它却有复数解。这里我们不详细讨论,但事实证明,如果这些复数解的实部小于0,淋浴的情况仍然是可控的:开关热水龙头最终会让我们达到所需的温度。


然而,如果复数解的实部大于0,那么淋浴就不可控制:温度将持续上升和下降——当然这就让我们很不爽。根据延迟参数d和比例常数k,这两种情况之间的转变发生在乘积(kd)等于π/2的时候。



气候变化与新冠肺炎


如果你跳过了数学部分,现在欢迎来到应用部分!我们在数学部分得到的结论是:


如果延迟参数和比例常数的乘积(kd)小于π/2,那么淋浴的情况是可控的:开关热水龙头最终会得到我们想要的温度。


当kd<1/e时,这一调节过程中温度不会有任何振荡;当1/e<kd<π/2时,在调节过程中,温度会在理想温度附近会有一些振荡随后趋于稳定。


下面的两个图说明了这一点。


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kd=0.25<1/e情况下的温度函数


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1/e<kd=1<π/2情况下的温度函数


然而,如果kd>π/2,温度函数将继续剧烈振荡,如下图所示。


image.png

kd=2>π/2情况下的温度函数


现在,如前所述,让我们看看淋浴方程的其他应用。最重要的应用是对气候动力学的研究,因为许多气候现象需要时间才能产生影响。


例如,如果我们改变现在排放到大气中的二氧化碳量,那么我们需要等待一段时间,才能看到这对地球温度的实际影响。这使得很难确定二氧化碳减少的影响,并可能导致不受控制的振荡。


另一个例子是厄尔尼诺-南方涛动(El Niño Southern Oscillation,ENSO)。这是一种热带地区太平洋温度的不规则变化,升温事件周期大约为4年。厄尔尼诺现象不仅影响它出现的地区,而且对全球经济都有重大影响。如果我们能更好地预测它,那么这将有助于太平洋地区的国家和地区做好准备。


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厄尔尼诺对安第斯山脉天气的影响。Riccardo Pravettoni绘制


ENSO是由洋流和大气之间的相互作用引起的,它改变了海洋的温度。ENSO可以用一个和淋浴方程非常相像的方程来模拟。在这种情况下,延迟是洋流从南美洲西海岸到亚洲东海岸往返所需要的时间(见上图)。这导致了我们看到的周期性。事实上在这种情况下,方程包含额外的非线性项,这会导致混沌动力学叠加在周期振荡上。


我们的方程同样适用于理解农业对气候变化的反应。这也涉及到延迟,因为作物需要时间生长,这导致很难在变化的环境中规划何时种植和收获作物。


淋浴公式也与我们目前因COVID-19而出现的情形非常相关。回顾我们的众多举措,我们通过社交距离和接种疫苗实现了对疫情的有效控制,生产生活已经基本恢复正常。但事实上这些措施需要一段时间才能生效,所以我们要再次处理延迟的问题。此外,COVID-19的病毒潜伏期为5天至2周。在这段潜伏期内,没有明显的症状,所以从一个人被感染到明显生病之间有一段时间,这在模拟疫情时需要考虑。这直接导致了淋浴方程的不同版本,也就是所谓的包含了延迟和控制的SIR方程,可以用来帮助我们理解和控制流行病。就像ENSO系统一样,一旦方程中加入了延迟,事情就变得更加不确定。因此,(卫生和经济)系统的可控制性如何还有待观察。


原文链接:

https://plus.maths.org/content/shower-equation