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无人能看懂的数学天书正式发表

时间: 2021年03月10日 | 作者: Davide Castelvecchi | 来源: 环球科学(huanqiukexue.com)
2012年,日本数学家望月新一将4篇总篇幅超过600页的论文挂到了自己的网站上。然而,这600多页的内容如同天书,在此后一段时间内几乎没有其他数学家能理解。


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望月新一(图片来源:京都大学)


直到上周,经过7年半的审查,望月新一的论文终于迎来归宿,正式发表于《数理解析研究所公刊》(PRIMS)特刊电子版。不过,论文的发布绝非终点,在这之后,更多同行将对这些充满争议的内容进行解读、评判。而ABC猜想究竟是否已经被真正证明,也有待进一步检验。


撰文 | 达维德·卡斯泰尔韦基(Davide Castelvecchi)

编译 | 吴非



30多年的猜想


望月新一试图解决的ABC猜想,是一个有着超过30年历史的数论难题。这个猜想揭示了整数加法与乘法之间的深刻联系。每个正整数都能唯一地表达为质数的乘积。现在,a、b、c是3个正整数,其中a + b = c。如果a和b能分解为许多小的质数,那么c就只能分解为寥寥可数的几个大质数。


这个想法首先是由法国数学家约瑟夫·厄斯特勒(Joseph Oesterlé)在1985年的一次演讲中提出的。厄斯特勒当时只是随口一提,但在场的瑞士数学家戴维·马瑟(David Masser)意识到,这个猜想可能非常重要,于是开始宣传它的一种推广形式。因此,ABC猜想也被称作厄斯特勒-马瑟猜想。


数年后,哈佛大学的数学家诺姆·埃尔奇斯(Noam Elkies)意识到,如果ABC猜想是正确的,它将会对整数方程研究领域产生深远的影响——对ABC猜想的证明会一下子解决一长串著名的未解丢番图方程。


如何理解ABC猜想的重要性呢?我们先来看此前丢番图方程研究史上最重要的突破。美国数学家路易·莫德尔(Louis Mordell)曾在1922年提出了一个猜想,认为绝大部分丢番图方程要么没有解,要么只有有限个解;而莫德尔的猜想在1983年被德国数学家格尔德·法尔廷斯(Gerd Faltings)证明,他三年后因此获得菲尔兹奖。而如果ABC猜想是正确的,你知道的就不仅仅是方程有多少个解,还能把它们全部列出来。


如果得到证实,这将会成为本世纪内最惊人的数学成就之一,也会在整数方程的研究中掀起一场彻底的变革。基于ABC猜想,还可能出现一种用于证明费马大定理的全新方法。



苦战十年


望月新一于1969年出生在东京,他在幼年时就被家人带到美国。年仅16岁时,天赋异禀的望月新一就成为了普林斯顿大学数学系的本科生。很快,他就直接进入了博士阶段的学习,而他的导师正是证明了莫德尔猜想的法尔廷斯。


1994年,在普林斯顿大学取得博士学位的望月新一回到日本,任职于数理解析研究所。此后几年,他的一系列工作取得了国际声誉。但到了21世纪初,望月新一却将自己“封闭”在研究所内,不再参加国际会议,甚至很少离开京都。然而望月新一确实与其他数论学家保持着联系,他们知道望月新一的最终目标就是ABC猜想。他几乎没有竞争者:绝大部分数学家明确避开了这个问题,认为它过于棘手。


2012年8月30日,望月新一在网上公开了自己的证明。不过,他没有选择预印本网站,而是将论文悄悄地发在了数学科学研究所的网站上。这4篇论文不仅篇幅惊人,内容也令其他数学家头疼不已——其中一些数学概念是他完全不熟悉的。望月新一在描述一些全新理论时,会使用令人震惊的、几乎是以救世主自居的语言,他甚至将他创造的这个领域称为“宇宙际几何”。


美国威斯康星大学麦迪逊分校的数论学家乔丹·埃伦伯格(Jordan Ellenberg)这样评价望月新一的论文:“就像是在读来自未来或外太空的论文。”他的导师法尔廷斯也表示:“我尝试读了一部分,然后在某个阶段,我放弃了。我不明白他在干什么”,并且批评他“没有将想法更加清晰地表达出来”。


首先宣称看懂这些证明性的,是英国诺丁汉大学的伊万·费先科(Ivan Fesenko)。费先科仔细研究了望月新一的工作,并在2014年拜访望月新一声称,他已经验证了证明的正确性。统括宇宙际几何的主题,如费先科所述,就是我们必须以另一个角度看待整数——将加法放在一旁,将乘法看成某种可以延伸变化的结构。标准的乘法将会成为一类结构中的特殊情况,就像圆是椭圆的特殊情况。但对于绝大多数数学家来说,这些论文依旧是“天书”,望月新一的猜想一度陷入了僵局。



缺陷无法修复?


2017年12月,日本《朝日新闻》报道称,望月新一的论文已经被杂志正式接收,当时就有消息称接收这些论文的正是望月新一担当主编的PRIMS,不过PRIMS的编辑在当时对这一传言予以否认。


几个月后,望月新一的处境更加不妙。两位德高望重的数学家——2018年菲尔茨奖得主,波恩大学的彼得·朔尔策(Peter Scholze)和歌德大学的雅各布·施蒂克斯(Jacob Stix)反驳了望月新一的证明,并指出其中一个具体的关键段落存在“无法修补的严重缺陷”。作为数论领域的权威,朔尔策在接受采访时表示:“我认为ABC猜想依然是开放的,任何人都有机会证明这个猜想。”


2020年4月3日,望月新一在数理解析研究所的两位同事召开新闻发布会宣布,望月新一关于ABC猜想的证明终于被学术期刊接收、即将正式发表,而接收这些论文的期刊正是PRIMS。


不过,论文被接收的消息,似乎也没有让更多数学家转移到望月新一的阵营。“我可以肯定地说,在2018年之后,学界的态度没有太大的变化,”加州大学圣迭戈分校的数学家基兰·凯德拉亚(Kiran Kedlaya)说。他曾花了数年时间,试图证明ABC猜想。


需要指出的是,数学家在自己担任编辑的学术期刊上发表论文,其实并不罕见。东京大学科维理物理和数学研究所的数学家中岛启(Hiraku Nakajima)说,只要作者回避同行评议流程,“这种情况没有违背任何规则,也很常见。”


在数学界,论文被接收通常并不是同行评议的终点,只有在同行达成共识后,结论才能称得上真正成立。而这个过程,可能需要花费数年时间。


对于望月新一的工作来说,“结果不会是要么完全正确,要么毫无可取之处。”埃伦贝格说。即使ABC猜想的证明没有实现,他的方法与观念仍能够缓慢渗透到整个数学界,研究者可能会发现它们在别的方面有用。“基于我对望月新一的了解,我的确认为这些文件中极有可能包含着有趣或者重要的数学。”埃伦贝格说。


但事情也有向另一个方向发展的风险,埃伦贝格补充道:“我想,如果我们将它忘记,那可就太糟糕了。”


参考链接:

https://www.scientificamerican.com/article/mathematical-proof-that-rocked-number-theory-will-be-published/