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20世纪最著名的数学证明,少不了这个曾被忽视的理论

时间: 2020年06月24日 | 作者: Kevin Hartnett | 来源: 中科院物理所
表示理论最初被人忽视。现在,它是许多数学研究的核心。


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上图将李群直观地展现了出来。通过这种化繁为简的方式,数学家们得以理解复杂对象的方方面面。


19世纪晚期,表示理论出现时,许多数学家质疑它存在的价值。1897年,英国数学家威廉·伯恩赛德(William Burnside)说,他十分怀疑这些不正统的观点能产出什么新的结果。


悉尼大学的乔迪·威廉姆森(Geordie Williamson)在2015年的一次演讲中说:“伯恩赛德的的大意是:表示理论毫无用处。”


在登场一个多世纪之后,在许多最重要的数学发现中表示理论都是关键。然而最初,人们很难看到它的用武之地。


德国凯泽斯劳滕技术大学的艾米莉·诺顿(Emily Norton)说:“它是一个合理的研究对象,这一点并不能马上就能看清楚。”


表示理论是一种将复杂对象用简单对象“表示”的方法。这里的“复杂对象”通常指的是数学对象的集合(比如数字或对称操作),并且他们之间的关系形成某种特定结构,这些集合称为群。而“简单对象”是数字阵列,称为矩阵,是线性代数的核心。群比较抽象,常常难于处理,而矩阵和线性代数却是十分基本的。


“数学家基本上对矩阵了如指掌,这是数学中为数不多被透彻理解的主题之一。”波士顿大学的贾里德·韦恩斯坦(Jared Weinstein)说。


为了理解矩阵如何表示群,我们有必要逐个看看它们都是什么。


首先,我们来介绍群。


举一个十分直白的例子,考虑等边三角形的六个对称性:


两个旋转对称(转120度或240度);

三个镜面反射对称(沿等边三角形的三条中线反射);

一个恒等对称性(不对三角形进行任何操作)。


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两个旋转对称


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三个镜面反射对称


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一个恒等对称性


这六种对称操作形成了元素的一个封闭集合:群,学名是 S3。它们之所以形成群,是因为具有这样的性质:在其中选取任意多个操作,以任意顺序施加在这个三角形上,其结果都可以等效成为只进行了一次对称操作。


举个简单的例子:先对三角进行镜面反射,再将其旋转 120 度,这改变了三角形三个顶点的顺序。若进行另一种镜面反射,你会看到顶点顺序发生了相同的变化。


“我先这样操作,再那样操作。重要的是,结果仍旧是这个三角形的对称操作。”诺顿说。


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数学家把两个对称操作的结合称为一个组合:群中的一个操作(反射)与另一个(旋转)组合,产生第三个(另一个反射)。你可以像数学家一样,将组合看作一种乘法运算。


“我们喜欢把操作看成是乘法,即使我不是在乘数字,我乘的是变换(transformations)。”诺顿说。


简单起见,我们可以考虑非零实数,加上定义的各种运算,它们也形成了一个群。任何实数“组合”或“乘以” 1 之后都保持不变。你也可以以任何顺序乘以任何实数,得到的结果还是一个实数。数学家称实数构成的群在乘法下“封闭”的,意思就是,若只是将元素相乘,得到的结果永远落在这个群内。


自从 1830 年左右被发现,群已经成为了数学中最重要的内容之一。他们将素数、几何空间等数学界几乎所有最关心的东西进行编码,解决一个重要的问题往往取决于理解与之有关的那个群。但对绝大多数群来说,理解起来比等边三角形可难多了。比如“李群”,它含有的可不是简简单单的六个元素,而是无穷多个。


“群有时真的特别复杂。”韦恩斯坦说。


这就说到了表示理论,它让我们从神秘的群的世界来到了可以很好地被约束的线性代数领域。


线性代数研究作用在向量(有向线段)上的简单变换。它们是用坐标来定义的,可以用矩阵(数字阵列)的形式表示出来。


一个矩阵作用在向量上,使之发生变换。比如,矩阵 :


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的作用是使向量长度伸展为原来的两倍。这是一个“线性”变换的例子。


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其他矩阵会对向量进行不同种类的线性变换,如反射,旋转和剪切等。恒等矩阵不对向量产生任何改变(就像恒等对称性作用在三角形上或者1作用在实数上一样): 


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线性代数将这些变换背后的算数过程具体化了。矩阵可以相乘、相加、相减,就像我们对普通的数字进行操作一样简单。


根据某些规则,对群里的每个元素分配一个矩阵——表示理论以这样的方式在群论和线性代数之间架起了一道桥梁。举例来说,群的恒元必须分配单位矩阵。这种分配必须照顾到群中元素之间的关系。如果一个反射操作乘一个旋转相当于第二个反射,那么他们所对应的矩阵也应满足前两者(第一个反射和旋转对应的矩阵)相乘等于后者(第二个反射对应的矩阵)。符合这些要求的矩阵的集合就称作群的一个表示。


表示给出了群的简化图像,就像黑白图片是原始色彩图片的低成本仿制一样。换句话来说,它“记住”了群的一些简单却本质的信息,但“忘掉”了其他的。数学家不想过分纠缠于群的全部复杂性,而是将其转换为线性变换这样的简约形式,然后通过观察其行为来把握其性质。


诺顿说:“我们不需要立刻着手研究群,看一看更小的表示就能理解一些关于群的性质。”


几乎所有群都有多种表示。比如S3群就有三个截然不同的实数矩阵表示:平凡表示、反射表示和符号表示。


数学家将群的表示整理归纳在一个表格——特征标表中。特征标表总结了群的信息,表格的各行对应着不同的表示,各列对应着表示中的重要矩阵:恒元和生成元(利用这两种群元可以构造出群的全部元素)的表示矩阵。表格的内容是各矩阵的迹,即将矩阵左上角到右下角这条对角线上的元素取和。下方是 S3群三个表示的特征标表:


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特征标表提供了群的简化图像,其中的每个表示都提供了略微不同的信息。数学家将表示提供的各个角度结合起来,形成对群的整体印象。


“不同的表示’记忆’了不同的事情,当你把所有的信息放在一起时,某种程度上你就有了关于群的万花筒般的图像。”


上面的特征标表,数学家一看就知道是 S3群的。但是有时同一个特征标表可以表示多个群——做简化时无法避免一定程度的模糊或歧义。


对这些模糊的情形,数学家们有额外的工具可供使用,其中一种方法就是换一种数字系统来构造表示。上面 S3群的表示用的是实数矩阵,但是你也可以用复数矩阵(矩阵的每个矩阵元都由实数部分和虚数部分组成)。事实上,大多数表示理论都是这样做的。


有一些成果丰富的表示既不用实数也不用复数,它们的矩阵元是取自缩小后,或者说“取模”后的数字系统,我们称为“模”。以钟表数学的结构为例,在这里时针从 0 开始,绕过 7+6 小时后等于 1。两个拥有相同实数特征标表的群可能有不同的模表示特征标表,从而可以被区分开。


如今,表示理论是许多数学研究领域的核心工具:代数、拓扑、集合、数学物理和数论——包括影响深远的的朗兰兹纲领。


“在20世纪下半叶,表示理论的哲学在数学世界中疯狂开疆拓土。”在一次采访中,威廉姆森说。


表示理论——尤其是模表示——在1994年安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)对费马大定理(方程 an+bn=cn 是否存在正整数解)的里程碑式证明中扮演了重要的角色。怀尔斯证明了当 n>2 时这样的正整数解是不存在的。大体来说,他认为如果存在这样的解,会导致一个群(或椭圆曲线)具有非常不寻常的性质。这些性质太不寻常以至于可以作为群不存在的证据。然而,直接证明是非常困难的。怀尔斯另辟蹊径,着手于这个群的一系列模表示。它证明了一系列的模表示无法存在,这就意味着这个群(或者椭圆曲线)无法存在,进而表明这个整数解也是无法存在的。


百年之前,威廉·伯恩赛德将表示理论弃之如敝履;百年之后,表示理论对 20 世纪最著名的证明至关重要。


韦恩斯坦说:“如果费马大定理最后的证明没有用表示理论,我不确定它是否还能被证明出来。”


作者:Kevin Hartnett

翻译:xux

审校:Nuor


原文链接:

https://www.quantamagazine.org/the-useless-perspective-that-transformed-mathematics-20200609/