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数学最让人难以理解的一点,就是它竟然可以让人理解

时间: 2016年06月30日 | 作者: Scott Aaronson | 来源: Aeon
数学明明有那么多难以证明的猜想,但数学家却认为这是一门缺乏神秘感的学科

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图片来源:KimManleyOrt/Flickr

 

在某种意义上,数学中的谜题比其他任何人类竭力探索的领域都要少。在数学上,我们可以真正地理解一些事物,比理解其他事物更加深刻。(当我年轻时,每当看悬疑电影时感到恐慌,我就会用背诵数学定理证明的方法来让自己安心,因为至少这里面的确定性是电影无法撼动的。)那么为何还有许多人,尤其是数学家,对这个谜题最少的学科感到迷惑呢?他们在疑惑什么呢?

 

数学世界当然是存在谜题的。对于入门者而言,数学有着数以千计的未解之谜,比如一些无人能证明或证伪的推断,其中有些甚至耗费了数学家数十年的努力仍未能解决。尽管许多此类问题都很深奥和重要,我们现在仍可以找出一个简单的例子:没人能够证明,圆周率π=3.141592653589…无尽的小数部分,数字0到9出现的频率是相等的。

 

然而,出于一些原因(也适用于许多其他未解数学问题),是否该把这个问题称为“谜题”还有争议。对于大多数人来讲,如果这些数字事实上并非等频率出现,那才算得上引人好奇的谜题。但在数学上,最大的难题其实是要严密地证明:真实的情况就是任何具备常识的人经仔细思考后认为最可能发生的情况。正如威斯康星大学的数学家Jordan Ellenberg写道,数学的一个肮脏秘密就是许多未解问题都有一个相似点:它们缺少神秘的巧合。

 

举个例子,孪生素数猜想认为,有无限组相差为2的素数对(如3和5,或者11和13)。Ellenberg解释道,要让这个猜想成立,并不需要什么神秘 “力量”将素数聚拢一起,只要别有什么神秘力量把素数拆散就行了;或者以黎曼猜想为例,即一个特定的复变函数,无限多的非平凡零点都在一条直线上。当该假说被这样描述时,听上去的确像是个谜。为什么无限多的数字都要恰好排列在一条线上呢?

 

但当你认识到,这个函数的每一个零点都编码了素数分布的全局信息时,神秘感也就消退了:只要有一个零点不在这条线上,就意味着有无限多的素数会以看上去极为不可能的方式聚拢在一起。所以,如果你愿意,总得有一种神秘的规律存在,从而阻止更加神秘的第二种规律出现。

 

当然,并非所有的数学谜题都是要严密地论证常识的预测结果。1978年,肯考迪娅大学的John McKay注意到数字196883出现在两个看起来毫不相关的数学领域。这是单纯的巧合么?1998年,Richard Borcherds(现就职于于加利福尼亚大学伯克利分校)证明了这绝非巧合(这受到英国数学家John Conway和Simon Norton提出的“魔群月光”猜想的启发),并因此获得了菲尔兹奖。

 

你也许会觉得数学是一个巨大的阴谋:在某时某地,我们常会发现生活中的一些事物竟能够如此一致,这样的几率也太高了,以至于我们得说这绝非巧合,背后一定有更深入的解释等着被发掘。另一方面,恰恰由于整个学科都充满了非巧合的模式,一旦你在数学上投入了足够的时间,你也就见怪不怪了。

 

因此,关键的问题在于:当一个数学模型被解释——不仅是被证明,而是已经用20种不同方法证明,完全被理解,就像勾股定理一样——那还剩有神秘么?我会说也许还有吧,但并不确定。

 

两年前,一位捷克弦理论家,同时也是以保守态度而知名的数学博主Luboš Motl曾指责理论计算机科学家不该相信“P≠NP” 猜想——这是计算领域一个未被证明的核心理论,但就这样一个毫无合理依据的“偏见”,居然就成了包括我在内的理论计算机领域人士的群体思维和意识形态,他认为这是不可接受的。因为持这种看法的不止Motl一人,他的指控本身并不是那么引人注目,但他走得更远:尽管他作出了让步,认为在更接近物理学的数学领域里,或许会存在支持某一陈述为真的客观原因,但他声称,在远离物理学的分支里,数学就会变成一堆命题的杂乱堆砌。

 

有一些命题碰巧得到了证明,我们也因此同意它们是对的,就像我们会同意532+193=725一样。但如果一个命题没能被证明或者被证伪,在Motl看来,我们甚至都没有办法以比50%更高的概率“猜”出它到底是真是伪。这一不知真伪的命题无法与任何已经被证明的命题建立可靠的联系,也不能被归入更宽泛的模式中,只能引出一个接一个不知真假的引理。

 

然而,我自己在研究中从未有过这种经历,我认识的其他任何从事数学工作的人也从未有过这种经历。没错,人们有时会感到惊讶,惊讶也是惊喜的重要来源之一。但惊讶之所以为惊讶,就在于它们的稀有,因为其他大部分时候,事情都如专家预期般发展。而惊讶为何如此稀有,本身就是一个令人惊讶的谜。数学本可能变成Motl所说的样子:在数学领域,我们所关注的命题到底是对是错,背后并不存在人类能够理解的理由。但总的来说,数学并没有变成这样,为什么呢?

 

我们可以把这个问题表述得更清晰一些:在奥地利出生的数学家库尔特·哥德尔(Kurt Gödel)告诉我们,如果我们无法得到一个数学问题的答案(除了可以被归结于有限步计算的问题,例如白棋在游戏中能否取胜),有可能是因为这个命题的解从根本上就不能用寻常的数学公理来证明或证伪。这一发现被称为“哥德尔不完备性定理”,给整个数学界带来了轩然大波。但是,85年之后,我们却发现,这一定理大多数时候却都处于休眠状态。哥德尔的不完备定理只在特定情况下适用:只适用于某些关于整个公理系统的问题(通常只在你有意寻找不可证命题时才会遇到);或是超限集合论中的某些问题(然而有人认为这些问题本来就不需要有确定的答案);或是关于一组由0和1组成的特定字符串是否无规律的问题(这个问题好像也没有什么普遍意义,除非你出于某种理由对某个特定的无规字符串感兴趣);或是设计超快增长函数的问题。

 

为什么会这样?为什么哥德尔不完备性定理并没有大幅破坏数学的一致性呢?数学本可以不是这个样子:理论上,费马大定理、庞加莱猜想和其他关于数学的命题也都可以既无法证明也无法证伪,而如果这样,那么所有关于数学的有趣的事实就会分崩离析,成为一个个孤立的岛屿,这样,每个岛上就只剩一个问题,我们唯一需要操心的就是是否应该把它定为新的公理(而这也仅仅是个人口味问题罢了)。但情况并非如此:数学家发现的并不是数以百万的孤立“岛屿”,而是一个“超大陆”,海岸外只有零星几个“岛屿”——而大多数“岛屿”,随着探索的深入,也最终与大陆联系在了一起。

 

于是问题又来了:为什么呢?一个可能的原因是选择效应:数学中当然有许多无规律的部分,但正因为它们无规律,人类也就对它没有兴趣了。我们教给学生、写入教科书(或者写入像本文一样夸夸其谈的文章里)的部分,都是最终会与“大陆”联系起来的部分。同样地,没有人会惊叹于传记主角为什么会有如此精彩的生活,因为如果他们没有如此精彩的人生经历,也就不会有人为他们写传记了。

 

在我看来,这就是答案的一部分,但并不是答案的全部,因为它并不能解释所有数学家都会遇到的一些事情:数学中很多看似无关的概念之间经常有着惊人相似的模式,或者有让人意想不到的联系,甚至是在无人能够提前预知的情况下。

 

第二个可能的原因是,即使是数学中看上去脱离物理的部分,也是由我们对物理世界的经验间接启发得来的——所以,由于我们所在的物理世界是内在一致的,它们也是内在一致的。这个答案可能会将“数学为何可以被人理解,又为何如此优雅”的谜题推回到另一个谜题,即匈牙利出生的数学家尤金·维格纳(Eugene Wigner)所说的物理科学中数学的“不合理有效性”。

 

第三类原因则可能在于人类大脑的独特特征:它有一种神奇能力,天生倾向专注于终将可解的数学问题,同时天生倾向于研究彼此之间能产生有趣联系的概念,即使大脑并不知道自己在这么做。

 

我不知道到底哪种答案更接近真实,或者说还有其他完全不同的答案。不过,我依然可以自信地说,数学是神秘的——但最神秘的一点,是它为什么竟然没有那么神秘。

 

撰文 Scott Aaronson

翻译 秦琪凯

审校 韩晶晶 丁家琦

 

本文作者:Scott Aaronson是麻省理工学院电子工程与计算机科学专业的一名副教授,隶属于计算机科学与人工智能实验室。他是《从德谟克利特到量子计算》(Quantum Computing since Democritus , 2013)的作者。

 

原文链接:https://aeon.co/ideas/the-great-mystery-of-mathematics-is-its-lack-of-mystery